LE TRIANGLE RECTANGLE

-1- Propriétés liées à celles du rectangle

 

P1 : Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est toujours le milieu de l'hypoténuse (ou, ce qui revient  au même, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a toujours pour diamètre l'hypoténuse).

Réciproquement :
Etant donné un triangle ABC, si le point A est sur le cercle de diamètre [BC], alors le triangle ABC est  rectangle en A.

Variante :
Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est un triangle rectangle (dont  l'hypoténuse est le diamètre du demi-cercle). 

P2 : Dans un triangle rectangle la médiane relative à l'hypoténuse (c'est à dire issue du sommet de l'angle droit) a toujours pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse

Réciproquement :
Si dans un triangle la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de ce côté, alors le triangle est rectangle, et le côté considéré est l'hypoténuse.

 Attention : On ne peut parler d'hypoténuse que dans un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle.

Voir EXEMPLES D'EXERCICES

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-2- Propriété de Pythagore

a) Théorème :

* Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de
l'hypoténuse est toujours égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l'angle droit.

* Si le triangle ABC est rectangle en A
alors on a : BC2 = AB2 + AC2

(C'est l'égalité de Pythagore)

Conséquence de ce théorème (contraposée) :
Si dans un triangle le carré du côté le plus long n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle ne peut pas être rectangle.

Voir EXEMPLES D'EXERCICES  UTILISANT LE THÉORÈME DE PYTHAGORE

 

b) Réciproque :

* Si dans un triangle le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et le plus long côté est l'hypoténuse.

* Etant donné un triangle ABC,
si on a : BC2 = AB2 + AC2 alors ce triangle est rectangle en A.

Voir EXEMPLE D'EXERCICE UTILISANT LA RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE

 

-3- Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle

Le cosinus d'un angle est un nombre qui ne dépend que de la mesure de cet angle.

Définition du cosinus (dans un triangle rectangle) :
Cosinus d'un angle aigu = côté adjacent à l'angle  ÷  hypoténuse
 

Remarque : Comme le côté [AB] est plus court que l'hypoténuse [BC] alors  on a : cos B < 1
Le cosinus d'un angle aigu est toujours inférieur à 1.

Attention : Ne pas confondre la mesure d'un angle (exprimée en degrés), et le cosinus correspondant (nombre sans unité).
Avec la calculatrice on peut déterminer le cosinus d'un angle à partir de sa mesure, ou bien déterminer la mesure à partir du cosinus.

Cas particulier à connaître : cos 60° = 0,5

Voir EXEMPLES D'EXERCICES UTILISANT DES COSINUS

-4- Distance d'un point à une droite

Définition :
On appelle distance d'un point M à une droite D la distance minimum entre M et un point quelconque de D, c'est à dire la distance MH où H est le pied de la perpendiculaire à D passant par M.

Sur la figure ci-contre :
Si   E ∈ Δ  avec   E ≠ H  alors   ME > MH

Propriété caractéristique des points de la bissectrice d'un angle

Rappel : La bissectrice d'un angle est aussi son axe de symétrie.

Propriété : Si un point se trouve sur la bissectrice d'un angle il est toujours situé à égale distance des deux côtés de l'angle.

Réciproquement : Si un point est situé à égale distance des deux côtés d'un angle alors il se trouve toujours sur la bissectrice de cet angle.