-1- Propriétés liées à celles du rectangle
P1 : Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est toujours le milieu de l'hypoténuse (ou, ce qui revient au même, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a toujours pour diamètre l'hypoténuse).
Réciproquement :
Etant
donné un triangle ABC, si le point A est sur le cercle de diamètre [BC],
alors le triangle ABC est rectangle en A.
Variante :
Tout
triangle inscrit dans un demi-cercle est un triangle rectangle (dont
l'hypoténuse est le diamètre du demi-cercle).
P2 : Dans un triangle rectangle la médiane relative à l'hypoténuse (c'est à dire issue du sommet de l'angle droit) a toujours pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse
Réciproquement :
Si dans un triangle la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de ce côté, alors le triangle est rectangle, et le côté considéré est l'hypoténuse.
Attention : On ne peut parler d'hypoténuse que dans un triangle dont on sait déjà qu'il est rectangle.
.
-2- Propriété de Pythagore
* Dans un triangle rectangle le carré de la
longueur de * Si le triangle ABC est rectangle en A (C'est l'égalité de Pythagore) |
Conséquence de ce théorème
(contraposée) :
Si dans un triangle
le carré du côté le plus long n'est pas égal à la somme des carrés des deux
autres, alors le triangle ne peut pas être rectangle.
Voir EXEMPLES D'EXERCICES UTILISANT LE THÉORÈME DE PYTHAGORE
* Si dans un triangle le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et le plus long côté est l'hypoténuse.
* Etant donné un triangle ABC,
si
on a : BC2 = AB2 + AC2 alors ce triangle est rectangle en A.
Voir EXEMPLE D'EXERCICE UTILISANT LA RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE
-3- Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle
Le cosinus d'un angle est un nombre qui ne dépend que de la mesure de cet angle. Définition du
cosinus (dans
un triangle rectangle)
: Remarque : Comme le côté [AB] est plus court que l'hypoténuse [BC] alors
on a : cos B < 1 |
Attention : Ne pas
confondre la mesure d'un angle (exprimée en degrés), et le cosinus correspondant
(nombre sans unité).
Avec la calculatrice on peut déterminer le cosinus d'un
angle à partir de sa mesure, ou bien déterminer la mesure à partir du cosinus.
Cas particulier à connaître : cos 60° = 0,5
Voir EXEMPLES D'EXERCICES UTILISANT DES COSINUS
-4- Distance d'un point à une droite
Définition
: Sur la figure ci-contre : |
Propriété caractéristique des points de la bissectrice d'un angle
Rappel : La bissectrice d'un angle est aussi son axe de symétrie. Propriété : Si un point se trouve sur la bissectrice d'un angle il est toujours situé à égale distance des deux côtés de l'angle. Réciproquement : Si un point est situé à égale distance des deux côtés d'un angle alors il se trouve toujours sur la bissectrice de cet angle. |