NOTION DE FONCTION

-1- Sens du mot "fonction"

Une fonction est une sorte de "machine" permettant de "transformer" des objets mathématiques en d'autres (comme un four qui transforme diverses préparations en gâteaux, quiches, soufflés ...).

Une fonction peut aussi être considérée comme un procédé de correspondance, un moyen de passage, un moyen de transport ... entre des éléments de départ et des éléments d'arrivée.

Attention : Par une fonction un élément de départ ne peut jamais avoir plusieurs images.

 

-2- Exemples de fonctions

"Symétrie par rapport à une droite D"

      A A'
      K K
      M M'
      P P'
      A' A
      M' M
      P' P
      . . . . . . . . . . .

"Coordonnées de points"

      A ( 1 ; 2 )
      B ( 4 ; 1 )
      C ( 2 ; – 3 )
      D ( – 4 ; 5 )
      O ( 0 ; 0 )
      M (xM ; yM)

"Multiplication par 5"

         0 0
      –35 –175
      3,9 19,5
         x 5 x

"carré plus trois"

       1 4
       0 3
     – 2 7
       7 52
       2 7
       x x2 + 3

"le quart moins deux"

       0 – 2
       1 – 1,75
     44 9
       9 0,25
     – 6 –3,5
       x x/4 – 2

"Racine carrée"

        0 0
      16 4
        4 2
      19
     1,3
     – 9 néant
     – 6 néant
       x si x ≥ 0

    Dans la suite de la leçon il ne sera plus question que de fonctions mettant en relation des nombres

-3- Notations

1/ Une fonction quelconque se nomme souvent  f ,  g ,  h ...  ou   f1 ,  f2 ,  f3 ...
2/ Un élément quelconque de départ se désigne en général par x.
3/ Son image par la fonction f se note : f(x), ce qui se lit " f  de  x ".
4/ On peut se donner une fonction par différentes écritures

Trois exemples :

Fonction f :
 
f : x – 3 x

   x – 3 x

f(x) = – 3 x

Fonction g :
 
g : x 2 x+ 5

   x 2 x+ 5

g(x) = 2 x+ 5

Fonction h :
 
h : x x2 –

     x x2 –

h(x) = x2 –

EXERCICE :

1/ Calculer l'image du nombre 9 par f, par g et par h :
f ( 9 ) = – 3 × 9 = – 27
g ( 9 ) = 2 × 9 + 5 = 23
h ( 9 ) = 92 – = 81 – 3 = 78

2/ Déterminer le nombre x dont l'image par g est égale à 9 :

On résout l'équation   g(x) = 9
2 x+ 5 = 9
2 x = 9 – 5
2 x = 4
x = 2

 

-4- Représentation graphique d'une fonction dans le plan muni d'un repère

Etant donnée une fonction f, sa représentation graphique c'est l'ensemble des points dont l'ordonnée est égale à l'image de l'abscisse par f.

Un point M appartient à la représentation graphique de la fonction f si on a : yM = f ( xM )

Remarque : Sur la représentation graphique d'une fonction on ne peut pas avoir deux points distincts ayant la même abscisse et des ordonnées différentes, car chaque nombre a au plus une image.

Exemple de représentation graphique :

On considère la fonction f telle que : f(x ) = x2 – 4

Le tableau suivant permet d'obtenir 9 points de la représentation graphique de f :

x
– 3
– 2
– 1
– 0,5
0
0,5
1
2
3
y=f(x)
5
0
– 3
– 3,75
– 4
– 3,75
– 3
0
5

On place ensuite ces 9 points dans un repère orthonormé, et on les joint par une ligne courbe régulière pour obtenir la représentation graphique de la fonction f :

Fonctions linéaires et fonctions affines