a
´ x
ou bien : f(x)
= a
´ x-1- FONCTIONS LINÉAIRES
Soit a un nombre fixé, la fonction linéaire de coefficient a fait correspondre à tout nombre x le nombre a ´ x .
Appelons f cette fonction. On écrit alors :f : x
a
´ x
ou bien : f(x)
= a
´ x
f(x) , c'est à dire a ´ x , est l'image de x par la fonction f (appliquer la fonction f c’est multiplier par a).
REMARQUE : Une fonction linéaire est toujours la traduction d’une situation de proportionnalité.
EXEMPLES :
1/ Un prix x augmente de 8%, quel est le nouveau prix ?
Par quelle fonction f est donné le nouveau prix ?
Donner les nouveaux prix correspondant à 25, 60, 105, 145 et 275 euros .
x + 8% de x = x + (8/100) ´ x = (108/100) ´ x = 1,08 x
Si l'ancien prix est x alors le nouveau prix est 1,08 x
Le nouveau prix est donné par la fonction
linéaire f de coefficient 1,08 :
f : x
1,08 x c'est
à dire : f(x )
= 1,08 x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/ Par une fonction linéaire
g le nommbre 2,25 a pour image 216.
Déterminer l'expression algébrique de la fonction g.
g est une fonction linéaire donc g(x) est de la forme a ´ x
Les informations données dans le texte permettent d'écrire une équation :
g(2,25)
= 216
a ´ 2,25
= 216
a = 216 / 2,25
a = 96
g est la fonction linéaire de coefficient
96 :
g : x
96 x
c'est à dire :
g(x) = 96 x
|
Représentation graphique
d’une fonction linéaire C’est toujours une droite passant par l’origine, non confondue avec (Oy). Exemple :
|
|
REMARQUE : La position de la droite dépend du coefficient a (appelé coefficient directeur)
Si le coefficient a est positif, la droite "monte de gauche à droite", s'il est négatif, la droite "descend de gauche à droite". |
Plus la valeur absolue du coefficient a est grande, plus la droite est verticale. |
Propriétés des fonctions linéaires :
Soit f une fonction linéaire de coefficient a, on a toujours :
| P1 f(0) = 0 | P2 f(1) = a |
|
| P4 f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) | P5 f(k ´ x) = k ´ f(x) |
-2- FONCTIONS AFFINES
Soient a et b deux nombres fixés, la fonction affine de coefficient a et de terme constant b fait correspondre à tout nombre x le nombre a ´ x + b .
Appelons f cette fonction. On écrit alors :
f : x
a
´ x + b ou bien : f(x)
= a
´ x + b
f(x) c'est à dire a ´ x + b, est l'image de x par la fonction f (appliquer la fonction f c’est multiplier par a puis ajouter b).
REMARQUE : Toute fonction linéaire est une fonction affine dont le terme constant est égal à 0.
EXEMPLES :
1/ Le tarif d’une bibliothèque comprend une carte à 8 euros pour l’année plus 1,5 euro par livre emprunté.
Quelle est la dépense totale pour x livres empruntés ?
Par quelle fonction f est donnée la dépense totale ?
Donner la dépense pour 5 , 8 , 10 , 14 et 20 livres empruntés.
Mettre en évidence la proportionnalité des variations de x et des variations de f(x)
Quel est le coefficient
de cette proportionnalité ?
La dépense totale pour x livres empruntés est : 1,5 x + 8
La dépense totale est donnée par la fonction affine f telle que :
f : x 1,5 x + 8 c'est à dire : f(x) = 1,5 x + 8
Les variations de x et les variations de f(x) sont des nombres proportionnels.
Le coefficient de proportionnalité
est 1,5. Il est donc égal au coefficient a
de la fonction affine f.
2/ Par une fonction affine g le nombre 2 a pour image 4 et le nombre 4 a pour image 5.
Déterminer l’expression algébrique de la fonction g.
g est une fonction affine donc g(x) est de la forme a ´ x + b .
Les informations données dans le texte permettent d'écrire deux équations :
|
g(2) = 4 (1) g(2) = 4 (2) |
a
´ 2 + b = 4 (1)
´ 2 a ´ 4 + b = 5 (2) |
4a + 2b = 8 (1) 4a + b = 5 (2) |
(1) a ´ 2 + 3 = 4 2a = 1 a = 0,5 |
|
Par soustraction membre à membre on obtient : |
g est la fonction affine de coefficient 0,5 et de terme constant 3 :
g : x 0,5 x + 3 c'est à dire : g(x) = 0,5 x + 3
|
Représentation graphique
d’une fonction affine C’est toujours une droite non parallèle à (Oy). Exemple :
La fonction linéaire g qui à tout nombre x fait correspondre le nombre – 2 ´ x est appelée fonction linéaire associée à la fonction affine f. La droite D f d'équation y = – 2 x + 3 est parallèle à la droite Dg d’équation y = – 2 x . |
 |
|
Vocabulaire : Dans f(x) = a x + b ou y = a x + b le nombre a est appelé coefficient directeur (de lui dépend l'inclinaison de la droite), et le nombre b est appelé ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec (Oy). |
 |
Propriété des fonctions affines :
Quand f est une fonction affine non linéaire, les valeurs de x et les valeurs correspondantes de f(x) ne sont pas proportionnelles, mais les variations de x et les variations correspondantes de f(x) sont des nombres proportionnels.
On peut dire que les écarts sont proportionnels.
De plus le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient de x dans l'expression algébrique de la fonction f.
On en déduit les formules permettant de calculer le coefficient d'une fonction affine f :
|
A partir de deux nombres x1 et x2 et de leurs images par f : a = |
A partir de deux points A et B de la représentation graphique de f : a = |
