CALCULS, IDENTITÉS REMARQUABLES

RAPPELS

 

-1- Généralités :

a/

En l'absence de parenthèses l'ordre de priorité des opérations est :

1)  puissances 2)  multiplications et divisions 3)  additions et soustractions

 

Si dans un calcul il n'y a pas d'opération prioritaire on compte de gauche à droite.

Mais s'il y a seulement des additions ou bien seulement des multiplications on peut compter dans l'ordre que l'on veut.

 

RÈGLE D'ÉCRITURE : Jamais deux signes ( +, –, ×, ÷) ne peuvent se suivre sans parenthèse les séparant.

 

b/ Suppression des parenthèses :

Si on a  +  devant (… ) , on peut supprimer les parenthèses et le  +  qui les précède, ceci sans changement de signe.

Si on a  –  devant (… ) , on peut supprimer les parenthèses et le   –   qui les précède, à condition de changer le signe de tous les termes se trouvant à l'intérieur des parenthèses.

 

c/ Deux notions bien distinctes, l'opposé et l'inverse d'un nombre :

Deux nombres a et b sont opposés quand leur somme est nulle :   a + b = 0. opposé de a = – a   (il suffit de changer de signe) Soustraire un nombre relatif cela revient à additionner son opposé.

Deux nombres non nuls x et y sont inverses l'un de l'autre quand leur produit est égal à un :   x × y   = 1. ATTENTION : Le nombre 0 n'a pas d'inverse. Diviser par un nombre (non nul) cela revient à multiplier par son inverse.

 

d/ Signe d'un produit ou d'un quotient, produit nul :

+  par  +  donne  + –  par  –  donne  +

+  par  –  donne  – –  par  +  donne  –

Généralisation : Quand dans un produit il y a un nombre pair de facteurs ayant le signe moins alors le résultat est positif. Quand il y en a un nombre impair le résultat est négatif.

 

Le quotient de deux nombres a le même signe que leur produit.

Un produit de facteurs est nul quand l'un (au moins) des facteurs est nul :     a × b = 0 quand a = 0 ou b = 0 .

 

e/ Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et la soustraction :

k × (a + b) = k × a + k × b	k × (a – b) = k × a – k × b
(a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

(Les signes × ne sont pas forcément écrits)

VOCABULAIRE : Pour une expression donnée,

passer de l'écriture  k × (a + b)   à l'écriture  k × a + k × b   cela s'appelle développer l'expression

passer de l'écriture  k × a + k × b   à l'écriture  k × (a + b)   cela s'appelle mettre k en facteur (factoriser).

Dans l'expression   k × a + k × b   le nombre k est appelé facteur commun aux deux termes de la somme.

 

f/ Egalité de deux expressions algébriques (littérales) :

Deux expressions littérales sont dites égales quand elles conduisent toutes les deux au même résultat, ceci quelle que soit la valeur donnée aux lettres qu'elles contiennent.

 

-2- Quotients, fractions :

a/

Dans les trois écritures ci-dessus le nombre b n'est jamais nul (on ne peut pas diviser par zéro).

 

b/ On ne change pas la valeur d'une fraction si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Simplifier par k c'est faire le changement d'écriture suivant :  

 

ATTENTION : De façon générale il faut simplifier les fractions au maximum.

c/

Deux fractions sont égales quand leurs produits en croix sont égaux :

 

d/ Opérations :

 

* Pour additionner des fractions on les met d'abord au même dénominateur.

* Pour multiplier des fractions on ne les met pas au même dénominateur, mais on commence souvent par simplifier (avant de multiplier).

 

e/ Cas particuliers :

Sous réserve d'existence, pour tout nombre a on peut toujours écrire :

 

-3- Puissances :

a/ Puissance positive :

n étant un entier positif et a un nombre quelconque on a :   aⁿ = a × a × a × a × ….. × a   , avec n facteurs égaux à a.

b/ Cas particuliers : a¹ = a     ;     si a ≠ 0 alors on a toujours : a⁰ = 1         ATTENTION :  0⁰ n'existe pas.

c/ Puissance négative d'un nombre non nul :

        

a^-n  est l'inverse de aⁿ . ( 0^-1 , 0^-2 , 0^-3 …sont impossibles)

d/ Formules :

 

e/ Puissances de 10, exemples :

12 300 000 = 123 × 10⁵ = 1,23 × 10⁷      ;      0,000 001 23 = 123 × 10^-8 = 1,23 × 10^-6

 

 

IDENTITÉS REMARQUABLES

 

Quels que soient les nombres a et b les égalités suivantes sont toujours vraies :

 

(a + b)2 = a2 + 2×a×b + b2

(a – b)2 = a2 – 2×a×b + b2

(a + b)×(a – b) = a2 – b2

(Les signes × ne sont pas forcément écrits)

VOCABULAIRE :

(a + b)2  est le carré d'une somme. (a – b)2  est le carré d'une différence. 2×a×b  est un double produit. a2 – b2  est une différence de 2 carrés. (a + b)×(a – b)  est le produit de deux quantités conjuguées.

 

Les égalités remarquables sont très utiles pour :

1/ Développer Exemples (x + 1,5)2 = x2 + 2 × x ×1,5 + 1,52 = x2 + 3x + 2,25   (6x – 7)2 = (6x)2 – 2 × 6x × 7 + 72 = 36x2 – 84x + 49   (30x + 0,2)(30x – 0,2) = (30x)2 – 0,22 = 900x2 – 0,04

2/ Factoriser Exemples x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = (x + 3)2   16x2 – 8x + 1= (4x)2 – 2 × 4x ×1 + 12 = (4x – 1)2   25x2 – 64 = (5x)2 – 82 = (5x + 8) (5x – 8)