GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE, AGRANDISSEMENTS, RÉDUCTIONS

- 1 - RAPPELS

cube

A = 6 a²

V = a³

pavé droit

A = 2 ( L×l + L×h + l×h )

V = L × l × h

cylindre

A = 2 π r² + 2 π r h

V = π r² h

prisme

A = 2 × A_b + P_b × h

V = A_b × h

cône

A = π r² + π r a

V = (1/3) × π × r² h

pyramide

V = (1/3) × A_b × h

- 2 - SPHÈRE, BOULE

La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l'espace tels que : OM = R.

La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l'espace tels que : OM ≤ R.

La boule est un solide plein, la sphère est un solide creux.

Formules aire : A = 4 × π × R² volume : V = ( 4/3 ) × π × R³ .

Sphère terrestre :

x = latitude du point M

r = R × cos x ; h = R × sin x

R ≈ 6400 km

L ≈ 40 000 km (tour de la terre)

A ≈ 500 millions de km² ; V ≈ 10¹² km³

- 3 - SECTIONS PAR UN PLAN (CAS PARTICULIERS)

Section d’une sphère par un plan : c’est un cercle de rayon inférieur ou égal au rayon de la sphère.
Section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face ou à une arête : c’est un rectangle.
Section d’un cylindre * par un plan perpendiculaire à l’axe : c’est un cercle de même rayon que les bases.

* par un plan parallèle à l’axe : c’est un rectangle.

Section d’une pyramide par un plan parallèle à la base : c’est un polygone qui est une réduction du polygone de base, et dont les côtés sont parallèles à ceux de la base.
Section d’un cône par un plan parallèle à la base : c’est un cercle qui est une réduction du cercle de base.

- 4 - AGRANDISSEMENTS, RÉDUCTIONS (k , k², k³)

Le coefficient d’agrandissement ou de réduction (ou échelle) concerne les dimensions d’une figure.

Pour la surface ou le volume le coefficient est différent.

Exemples :

a = 3² = 9

A = 4,5² = 20,25

A = 2,25 × a

A = 1,5² × a

Formule :

A = k² × a

v = ( 4/3 ) × π × 6³ = 288× π

V = ( 4/3 ) × π × 18³ = 7776 × π

V = 27 × v

V = 3³ × v

Formule :

V = k³ × v

Les formules écrites ci-dessus, sont toujours vraies.

Propriété :

Quand les dimensions d’une figure (ou d'un objet) sont multipliées par un nombre k, alors l’aire est multipliée par k² et le volume est multiplié par k³.

ATTENTION

… × k pour les longueurs

… × k² pour les aires

… × k³ pour les volumes

Exemples d'exercices :

AB = 5 cm ; AI = 3 cm ; AH = 4,5 cm ; BC = 7 cm

Calculer l'aire du triangle AIJ.

(AH × BC) / 2 = (4,5 × 7) / 2 = 31,5 / 2 = 15,75

Laire du triangle ABC est égale à 15,75 cm²

Le triangle AIJ est une réduction du triangle ABC.

Comme on a AI = 3 cm et AB = 5 cm, le coefficient de réduction AI / AB est égal à trois cinquièmes, c'est à dire 0,6 .

k = 0,6

L'aire de AIJ est égale à l'aire de ABC multipliée par k² .

15,75 × 0,6² = 5,67

L'aire du triangle AIJ est égale à 5,67 cm² .

SH = 8 cm ; SO = 5 cm ; aire de base de la grande pyramide = 48 cm²

Calculer le volume de la pyramide SABCDEF.

(SH × Aire base) / 3 = (8 × 48) / 3 = 384 / 3 = 128

Le volume de la grande pyramide est égal à 128 cm³

La pyramide SABCDEF est une réduction de la grande pyramide.

Comme on a SO = 5 cm et SH = 8 cm, le coefficient de réduction SO / SH est égal à cinq huitièmes, c'est à dire 0,625 .

k = 0,625

Le volume de SABCDEF est égal au volume de la grande pyramide multiplié par k³ .

128 × 0,625³ = 31,25

Le volume de la pyramide SABCDEF est égal à 31,25 cm³ .