-1- Rappels
Techniques de base de résolution d’une équation :
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x + a = b se traduit par : x = b – a |
k × x = a se traduit par :
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se traduit par :
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se traduit par : x = k × a |
-2- Equation produit
Un produit de facteurs est nul quand l’un des facteurs est nul :
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a × b = 0 se traduit par : a = 0 ou b = 0 |
EXEMPLE :
(x – 1)(7 + 3x)(x2 +1) = 0
x – 1 = 0 ou 7 + 3x = 0 ou x2 +1 = 0
x = 1 ou 3x = –7 ou x2 = –1 (impossible)
-3- Equations quotient (4 sortes)
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1)
se traduit par : a = 0 (avec b ≠ 0) |
EXEMPLE :
9x + 6 = 0 9x = – 6
L’équation a une solution: – 2/3 |
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2)
se traduit par : a = b (avec b ≠ 0) |
EXEMPLE :
3x – 5 = 2 – x 3x + x = 2 + 5 4x = 7
L’équation a une solution : 7/4 |
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3)
se traduit par : a × d = b × c (avec b ≠ 0 et d ≠ 0) |
EXEMPLE :
4 × (4x – 1) = 5 × (2 – 3x) 16x – 4 = 10 – 15x 16x + 15x = 10 + 4 31x = 14
L’équation a une solution: 14/31 |
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4)
se traduit par : a = c (avec b ≠ 0) |
EXEMPLE :
18x + 10 – 5x = 15 – x – 1 18x – 5x + x = 15 – 10 14x = 5
L’équation a une solution : 5/14 |
-4- Equations du second degré (contenant x2)
Rappels au sujet des équations de la forme : X 2 = A
Si A > 0Alors il y a deux possibilités :
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Si A = 0Alors il y a une seule possibilité : X = 0 |
Si A < 0Alors il n’y a aucune possibilité, car un carré n’est jamais négatif. |
Cas général
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f(x) = g(x) On transpose de façon à mettre tous les termes du même côté : f(x) – g(x) = 0 puis on factorise l’expression f(x) – g(x) et on résout l’équation produit ainsi obtenue. |
TROIS EXEMPLES :
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(2 – 3x)2 = (2 – 3x)(5x – 1) (2 – 3x)2 – (2 – 3x)(5x – 1) = 0 (2 – 3x)[ (2 – 3x) – (5x – 1) ] = 0 (2 – 3x)( 2 – 3x – 5x + 1 ) = 0 (2 – 3x)(3 – 8x) = 0 2 – 3x = 0 ou 3 – 8x = 0 2 = 3x ou 3 = 8x
L’équation a 2 solutions : 2/3 et 3/8 |
36x2 = (7x – 1)2 36x2 – (7x – 1)2 = 0 [ 6x – (7x – 1) ]×[ 6x + (7x – 1) ] = 0 (6x – 7x + 1)( 6x + 7x – 1) = 0 (6x – 7x + 1)( 6x + 7x – 1) = 0 (1 – x)(13x – 1) = 0 1 – x = 0 ou 13x – 1 = 0 1 = x ou 13x = 1
L’équation a 2 solutions : 1 et 1/13 |
(3x – 2)2 = 2 – 3x(3x – 2)2 + 3x – 2 = 0 (3x – 2)[(3x – 2) + 1] = 0 (3x – 2)(3x – 1) = 0 3x – 2 = 0 ou 3x – 1 = 0 3x = 2 ou 3x = 1
L’équation a 2 solutions : 2/3 et 1/3 |
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Cas très particulier
Quand les x 2 ou les x ou les constantes s’éliminent on peut résoudre en développant.
EXEMPLE :
(2x – 3)(4 + x) = 3(x +2)(x – 2)
8x + 2x2 – 12 – 3x = 3(x2 – 4)
2x2 + 5x – 12 = 3x2 – 12
2x2 + 5x – 3x2 = 0
5x – x2 = 0
x(5 – x) = 0
x = 0 ou 5 – x = 0
x = 0 ou 5 = x
L’équation a 2 solutions : 0 et 5