ÉQUATIONS À UNE INCONNUE

-1- Rappels

 

Techniques de base de résolution d’une équation :

 

x + a = b

se traduit par :

x = b – a

k × x = a

se traduit par :

se traduit par :

se traduit par :

x = k × a

 

-2- Equation produit

 

Un produit de facteurs est nul quand l’un des facteurs est nul :

 

a × b = 0

se traduit par :

a = 0  ou  b = 0

 

EXEMPLE :

 

(x – 1)(7 + 3x)(x2 +1) = 0

x – 1 = 0  ou  7 + 3x = 0  ou  x2 +1 = 0

x = 1  ou  3x = –7  ou  x2 = –1 (impossible)

 

-3- Equations quotient (4 sortes)

 

1)

 

se traduit par :

a = 0

(avec b ≠ 0)

EXEMPLE :

9x + 6 = 0

9x = – 6

L’équation a une solution: – 2/3

 

2)

 

se traduit par :

a = b

(avec b ≠ 0)

EXEMPLE :

3x – 5 = 2 – x

3x + x = 2 + 5

4x = 7

L’équation a une solution : 7/4

 

3)

 

se traduit par :

a × d = b × c

(avec b ≠ 0 et d ≠ 0)

EXEMPLE :

4×(4x – 1) = 5×(2 – 3x)

16x – 4 = 10 – 15x

16x + 15x = 10 + 4

31x = 14

L’équation a une solution: 14/31

 

4)

 

se traduit par :

a = c

(avec b ≠ 0)

EXEMPLE :

18x + 10 – 5x = 15 – x – 1

18x – 5x + x = 15 – 10

14x = 5

L’équation a une solution : 5/14

 

-4- Equations du second degré (contenant x2)

 

Rappels au sujet des équations de la forme : X 2 = A

 

Si    A > 0

Alors il y a deux possibilités :

Si    A = 0

Alors il y a une seule possibilité :

X = 0

Si    A < 0

Alors il n’y a aucune possibilité, car un carré n’est jamais négatif.

 

Cas général

 

f(x) = g(x)

On transpose de façon à mettre tous les termes du même côté :

f(x) – g(x) = 0

puis on factorise l’expression f(x) – g(x) et on résout l’équation produit ainsi obtenue.

 

TROIS  EXEMPLES :

 

(2 – 3x)2 = (2 – 3x)(5x – 1)

(2 – 3x)2 – (2 – 3x)(5x – 1) = 0

(2 – 3x)[ (2 – 3x) – (5x – 1) ] = 0

(2 – 3x)( 2 – 3x – 5x + 1 ) = 0

(2 – 3x)(3 – 8x) = 0

2 – 3x = 0  ou  3 – 8x = 0

2 = 3x  ou  3 = 8x

L’équation a 2 solutions : 2/3 et 3/8

36x2 = (7x – 1)2

36x2 – (7x – 1)2 = 0

[ 6x – (7x – 1) ]×[ 6x + (7x – 1) ] = 0

(6x – 7x + 1)( 6x + 7x – 1) = 0

(6x – 7x + 1)( 6x + 7x – 1) = 0

(1 – x)(13x – 1) = 0

1 – x = 0  ou  13x – 1 = 0

1 = x  ou  13x = 1

L’équation a 2 solutions : 1 et 1/13
(3x – 2)2 = 2 – 3x

(3x – 2)2 + 3x – 2 = 0

(3x – 2)[(3x – 2) + 1] = 0

(3x – 2)(3x – 1) = 0

3x – 2 = 0  ou  3x – 1 = 0

3x = 2  ou  3x = 1

L’équation a 2 solutions : 2/3 et 1/3

 

Cas très particulier

 

Quand les  x 2 ou les x ou les constantes s’éliminent on peut résoudre en développant.

 

EXEMPLE :

 

(2x – 3)(4 + x) = 3(x +2)(x – 2)

8x + 2x2 – 12 – 3x = 3(x2 – 4)

2x2 + 5x – 12 = 3x2 – 12

2x2 + 5x – 3x2 = 0

5xx2 = 0

x(5 – x) = 0

x = 0  ou  5 – x = 0

x = 0  ou  5 = x

L’équation a 2 solutions : 0 et 5