ARITHMÉTIQUE

-1- ENSEMBLES DE NOMBRES

On connaît :

- l'ensemble des nombres entiers naturels noté N
- l'ensemble des nombres entiers relatifs noté Z
- l'ensemble des nombres décimaux noté D
- l'ensemble des nombres rationnels noté Q
- l'ensemble des nombres réels noté R

A SAVOIR :

* Un nombre est dit rationnel quand il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de nombres entiers (fraction).
* L'ensemble des nombres réels contient tous les nombres que l'on peut imaginer (en 3ème).
* Tous les entiers sont des décimaux, tous les décimaux sont des rationnels, tous les rationnels sont des réels.
   Les ensembles de nombres cités ci-dessus sont emboîtés comme des poupées gigognes.

-2- MULTIPLES ET DIVISEURS D'UN NOMBRE ENTIER

Exemple :
Les multiples de 30 sont : 30 , 60 , 90 , 120 , 150 , 180 , 210 , 240 , 270 , ... (il y en a une infinité).
Les diviseurs de 30 sont : 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 (il y en a un nombre fini).

Soit n un nombre entier non nul,
Les multiples de n sont les nombres entiers suivants : n , 2n , 3n , 4n , 5n , 6n , ...
Les diviseurs de n sont les nombres entiers dont n est un multiple.
Remarque : Tous les nombres entiers sont divisibles par 1 et par eux mêmes.

Cas particulier :
Un nombre qui a exactement deux diviseurs est appelé nombre premier.
Début de la liste des nombres premiers : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , ...

-3- MULTIPLES ET DIVISEURS COMMUNS À DEUX NOMBRES ENTIERS

Exemple avec les nombres 30 et 24 :

diviseurs (communs)

multiples (communs)

30

1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30

30 , 60 , 90 , 120 , 150 , 180 , 210 , 240 ,
270 , ...

24

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24

24 , 48 , 72 , 96 , 120 , 144 , 168 , 192 , 216 , 240 , 264 ...

Le plus grand diviseur commun à 30 et 24 est 6.
On écrit : PGDC (30 , 24) = 6

Le plus petit multiple commun à 30 et 24 est 120.
On écrit : PPMC (30 , 24) = 120

Le PGDC est utile pour simplifier les fractions :

Le PPMC est utile pour mettre les fractions au même dénominateur (afin de pouvoir les additionner ou les soustraire par exemple) :

Remarque :
Le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGDC par leur PPMC.

Cas particulier :
Quand deux nombres n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux.

Exemple : 12 et 35 sont premiers entre eux car les diviseurs de 12 sont 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 et les diviseurs de 35 sont 1 , 5 , 7 , 35 . Seul 1 est commun.

Remarque : Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont des nombres premiers entre eux.

-4- MÉTHODES DE DÉTERMINATION DU PPMC ET DU PGDC DE DEUX NOMBRES

a) PPMC

1ère méthode : En écrivant des listes (voir paragraphe 3)

2ème méthode : En décomposant les deux nombres en produits de nombres premiers.
Exemple pour les deux nombres 30 et 24 :

30 = 2 x 3 x 5
24 = 2 x 2 x 2 x 3

b) PGDC

1ère méthode : En écrivant des listes (voir paragraphe 3)

2ème méthode : En décomposant les deux nombres en produits de nombres premiers.
Exemple pour les deux nombres 30 et 24 :

3ème méthode : ALGORITHME D'EUCLIDE

Exemple : déterminer le PGDC des deux nombres 792 et 1908:

1ère étape, division euclidienne de 1908 par 792 :
1908 = 792 x 2 + 324

2ème étape, division euclidienne de 792 par le reste 324 :
792 = 324 x 2 + 144

et ainsi de suite :
324 = 144 x 2 + 36 (PGDC)
144 = 36 x 4 + 0 "FIN"

CONCLUSION : PGDC(1908 , 792) = 36

Cette méthode est basée sur le fait que si deux nombres entiers sont divisibles par un certain nombre k, alors leur différence (a - b) et leur somme (a+b) sont également divisibles par k. On en déduit que les diviseurs communs à a et b sont les mêmes que les diviseurs communs à b et à (a - b). Si b peut être plusieurs fois soustrait de a, alors on recherche les diviseurs communs à b et au reste de la division euclidienne de a par b.

(Une division euclidienne est une division entre deux nombres entiers, où l'on poursuit l'opération jusqu'à la virgule, mais pas au-delà. Elle s'écrit donc exclusivement avec des nombres entiers.
L'algorithme d'Euclide permet d'obtenir le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres entiers par des divisions euclidiennes successives.
On commence par effectuer la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.
A l'étape suivante l'ancien diviseur devient le dividende et l'ancien reste devient le nouveau diviseur. Et ainsi de suite jusqu'à trouver un reste nul.
Le PGDC est alors le dernier reste non nul, celui qui est obtenu dans l'avant dernière division euclidienne.)