PUISSANCES

-1- PUISSANCES ENTIÈRES DE 10, DÉFINITIONS, FORMULES

Soit n un entier naturel ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 … )

Puissances d’exposant entier positif ou nul :

Définition :

10ⁿ = 1×(10×10×10×10× … ×10) , où il y a n facteurs égaux à 10.

On a donc 10ⁿ = 10000…0 , où il y a n chiffres 0 derrière le chiffre 1.

Cas particuliers : 10¹ = 1×10 = 10 et 10⁰ = 1

Exemples : 10² = 100 ; 10³ = 1000 ; 10⁴ = 10 000 ; 10⁶ = un million ; 10⁹ = un milliard

Puissances d’exposant entier négatif :

Définition :

10^{– n} = 1 ÷ (10×10×10×10× … ×10) , où il y a n facteurs égaux à 10.

On a donc 10^{– n} = 0,000…01 , où il y a n chiffres 0 en tout (ou bien, ce qui revient au même, le chiffre 1 est placé au n^ième rang après la virgule).

Remarque :10^{– n} = 1/10 ⁿ donc 10^{– n} est l'inverse de 10ⁿ

Cas particulier : 10^–1 = 1/10 = 0,1

Exemples : 10^–2 = 0,01 ; 10 ^–3 = 0,001 ; 10^–4 = 0,0001 ; 10^–6 = un millionième ; 10 ^–9 = un milliardième

Formules : (vraies avec des exposants positifs, nuls, ou négatifs)

10^n×10^p = 10^n+p

10^n/10^p = 10^n – p

(10^n)^p = 10^n^×^p

-2- DIFFÉRENTES ÉCRITURES D’UN MEME NOMBRE

Ecriture décimale	Entier ×10^n	Ecriture scientifique
472500	4725×10^2	4,725×10^5
–128,93	–12893×10^–2	– 1,2893×10^2
0,0000578	578×10^–7	5,78×10^–5
–635800000	– 6358×10^5	– 6,358×10^8
0,001042	1042×10^–6	1,042×10^–3

L’écriture scientifique d’un nombre est toujours de la forme a×10ⁿ ou de la forme –a×10ⁿ
où a est un nombre décimal vérifiant : 1 ≤ a < 10 , et n un nombre entier relatif quelconque.

Dans une écriture scientifique le nombre qui se trouve devant la puissance de 10 doit avoir une partie entière à un seul chiffre, et ce chiffre doit être différent de 0

-3- PUISSANCES ENTIÈRES D’UN NOMBRE RELATIF NON NUL

Mêmes définitions que pour les puissances de 10 :

Soient x un nombre non nul et n un entier naturel,

xⁿ = 1×(x×x×x×x× … ×x) , où il y a n facteurs égaux à x .

x ^{– n} = 1÷(x×x×x×x× … ×x) , où il y a n facteurs égaux à x .

Remarque : x^–n = 1/xⁿ donc x^–n est l'inverse de xⁿ  , en particulier : x ^–1 = 1/x = inverse de x

Cas particulier : Pour n'importe quelle valeur de n on a toujours : 1ⁿ = 1 et 1^–n = 1

Exemples :

5^3 = 5×5×5 = 125	7^0 = 1
(– 2)^4 = (–2)×(–2)×(–2)×(–2) = 16	(–12)^0 = 1
(–3)^3 = (–3)×(–3)×(–3) = –27	9^1 = 9
(–2)^–3 = 1/(–2)^3 = 1/(– 8) = – 0,125	(–6)^–1 = –1/6
(– 5)^–2 = 1/(– 5)^2 = 1/25 = 0,04	20^–1 = 0,05

Attention : (–3)⁴ = (–3)×(–3)×(–3)×(–3) = +81 mais – 3⁴ = – 3×3×3×3 = – 81

-4- PUISSANCES DE ZÉRO

0¹ = 0 ; 0² = 0 ; 0³ = 0 ; 0⁴ = 0 ; … ; 0²⁰ = 0 …

mais 0⁰ , 0^–1 , 0^–2 , 0^–3 , 0^–4 …. n'existent pas.

Une "explication" au fait que 0⁰ n'existe pas :

Si x ≠ 0 et si n ≠ 0 alors l'égalité xⁿ = 1×(x×x×x×x× … ×x) n'est vraie qu'avec le nombre 1 comme premier facteur après le signe =, donc quand n = 0 et qu'il n'y plus aucun facteur "x", le résultat est "logiquement" 1.

Exemple :

L'égalité 5³=1×(5×5×5) est vraie,

mais les égalités 5³=0×(5×5×5) , 5³=2×(5×5×5) , 5³=3×(5×5×5) … sont fausses

Par contre quand x = 0 et n ≠ 0, l'égalité 0ⁿ = ? ×(0×0×0×0× … ×0) est vraie avec n'importe quel nombre comme premier facteur après le signe =, donc quand il n'y a plus aucun facteur "0" on n'a à priori aucune raison de privilégier une valeur plutôt qu'une autre pour le résultat.

Exemple :

Les égalités 0³=0×(0×0×0) , 0³=1×(0×0×0) , 0³=2×(0×0×0) , 0³=3×(0×0×0) , 0³=4×(0×0×0) , 0³=5×(0×0×0) , … 0³=842×(0×0×0)… sont toutes vraies

Ultérieurement 0⁰ pourra cependant se voir affecter une valeur par convention.

Pour 0^–1 , 0^–2 , 0^–3 , 0^–4 … leur calcul à l'aide de la définition conduit à des divisions par 0, donc de façon évidente ces nombres n'existent pas.

-5- FORMULES (SUR DES EXEMPLES)

x^2×x^3 = x^2+3 = x^5	x^6/x^2 = x^6–2 = x^4		(x^4)^3 = x^4^×^3 = x^12
(x×y)^5 = x^5×y^5		(x/y)^3 = x^3/y^3

Ces formules sont vraies avec des exposants positifs, nuls, ou négatifs (sous réserve d'existence des nombres écrits).