RESUME

SUR LES NOMBRES RELATIFS

ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS

Il existe :

· des nombres relatifs positifs :

( + 125 )

5

( +1,78)

0

· des nombres relatifs négatifs :

(– 56 )

(– 0,17 )

0

– 1

1. ADDITION DE DEUX NOMBRES RELATIFS

L’addition est l’opération qui permet de calculer la somme de deux nombres relatifs.

Nombres de même signe :

Pour additionner deux décimaux relatifs de même signe :
on additionne les distances à zéro des deux nombres.
On met au résultat le signe commun aux deux nombres.

a = 6,5 + 1,7 a = 8,2

b = – 3,5 + ( – 2,4 ) b = – 5,9

Nombre de signes contraires :

Pour additionner deux décimaux relatifs de signes contraires :
on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
On met au résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

c = 4,1 + ( – 7,5 )	d = –1,5 + 6,8
c = – 3,4	d = 5,3

Si deux nombres sont opposés alors leur somme est nulle.
Si la somme de deux nombres est nulle alors ces deux nombres sont opposés.

13,4 et ( – 13,4 ) sont opposés 13,4 + ( – 13,4 ) = 0

Quels que soient les nombres relatifs a et b on a :

a + b = b + a

Quels que soient les nombres relatifs a, b et on a :

a + (b + c) = (a + b) + c

2. SOUSTRACTION DE DEUX NOMBRES RELATIFS

La soustraction est l’opération qui permet de calculer la différence de deux nombres relatifs.

Pour soustraire deux nombres relatifs, on ajoute au premier l’opposé du second.

e = 1,5 – 6	f = 2,3 – ( – 7 )
e = 1,5 + ( – 6 )	f = 2,3 + ( + 7)
e = – 4,5	ou f = 2,3 + 7
	f = 9,3

Ecriture simplifiée

On peut ne pas écrire le signe + des nombres positifs

a + ( + 3 ) = a + 3	a – ( + 3 ) = a – 3
a – ( – 3 ) = a + (+ 3) = a + 3	a + (– 3 ) = a – ( + 3 ) = a – 3

3. SOMMES ALGEBRIQUES

Une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions.

Pour calculer une somme algébrique, on transforme chaque soustraction en addition de l’opposé.
On regroupe les nombres positifs, les nombres négatifs et, si possible, les nombres opposés. On effectue alors les calculs.

S =7 –4,5 + 8 – (–3,5) –9 + (–6,5)

On peut simplifier directement l'écriture de la somme algébrique
S = 7 – 4,5 + 8 + 3,5 – 9 – 6,5

On " lit " S comme une somme de relatifs.

S = (+7) + (–4,5) + (+8) + (+3,5) + (–9) + (–6,5)

On peut donc changer les termes de place.

S =7 + 8 + 3,5 – 4,5 –9 –6,5

On effectue les calculs.

S = 18,5 – 20

S = –1,5

MULTIPLICATION ET DIVISION
DES NOMBRES RELATIFS

1. Multiplication

La multiplication est l’opération qui permet de calculer le produit de deux nombres relatifs.

( – 5,2 ) x ( + 2 ) = – 10,4

( – 5,2 ) et ( + 2 ) sont les facteurs et (– 10,4) est le produit.

Notation :

b x ( – 3 ) = –3b 2 x a = 2a a x b x c = abc

Cas particuliers :
a x 1 = a a x ( – 1 ) = – a a x 0 = 0

a x a = a ² –a est l'opposé de a

Règle des signes :

– le produit de deux nombres de même signe est positif.

– le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

– le produit de plusieurs nombres relatifs est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair.

– le produit de plusieurs nombres relatifs est négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.

– un carré est toujours positif.

Propriétés :

– si un facteur est nul alors le produit est nul.

– si un produit est nul alors un au moins des facteurs est nul.

– on peut changer l’ordre des facteurs.

– on peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit.

2. Division de deux nombres relatifs

La division est l’opération qui permet de calculer le quotient de deux nombres relatifs.

0,3 : 2 = 0,15

0,3 est le dividende 2 est le diviseur 0,15 est le quotient exact
On écrira : On a aussi : 0,15 x 2 = 0,3

On ne peut pas diviser par zéro.

est synonyme de a = b x q (b ¹ 0)

Règle des signes :

– le quotient de deux nombres de même signe est positif.

– le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif

3. Différents quotients :

– quotient entier exact.	Exemple :
– quotient décimal exact.	Exemple :
– quotient approché par défaut.	Exemple :
– quotient approché par excès.	Exemple :
– quotient arrondi.	Exemple :

Règle fondamentale :
On ne change pas l’écriture d’un quotient si on multiplie ou si on divise le dividende et le diviseur par un même nombre non nul.

4. suites d'opérations avec parenthèses

On effectue d’abord les calculs dans les parenthèses les plus intérieures.

5. suites d'opérations sans parenthèses

Dans une suite de calculs sans parenthèses, on effectue les multiplications, les divisions avant les additions et les soustractions.
On dit : les multiplications, les divisions ont la priorité sur les additions et les soustractions.

Suite d’additions et de soustractions ou suite de multiplications et de divisions :
il n’y a pas de priorité, on calcule de gauche à droite.

6. Développer Factoriser

On peut développer un produit :

a ( b + c ) = ab + ac

a ( b – c ) = ab – ac

a ( b + c – e ) = ab + ac – ae

(a + b ) (c + d ) = ac + ad + bc + bd

(a – b ) (c – d ) = ac – ad – bc + bd

(a + b ) (c – d ) = ac – ad + bc – bd

(a – b ) (c + d ) = ac + ad – bc – bd

On peut factoriser une somme, une différence :

ab + ac = a ( b + c )

ab – ac = a ( b – c )

ab + ac – ae = a ( b + c – e )

ac + ad + bc + bd = (a + b ) (c + d )

ac – ad – bc + bd = (a – b ) (c – d )

ac – ad + bc – bd = (a + b ) (c – d )

ac + ad – bc – bd = (a – b ) (c + d )

7. Expressions numériques

Dans une expression avec parenthèses, on commence par effectuer les calculs dans les parenthèses les plus intérieures.

Dans une expression sans parenthèses, on effectue les puissances, puis les multiplications et les divisions, et enfin les additions et les soustractions.
On dit : les puissances ont la priorité sur les multiplications, les divisions qui ont la priorité sur les additions et les soustractions.

Suite d’additions et de soustractions : il n’y a pas de priorité, on calcule de gauche à droite.

Suite de multiplications et de divisions : il n’y a pas de priorité, on calcule de gauche à droite

On peut supprimer les parenthèses précédées d’un signe +

On peut supprimer les parenthèses précédées d’un signe – en changeant
les signes ( + ou – ) des termes situés à l’intérieur.

8. PUISSANCES d’exposant entier positif ou négatif

a ⁿ = a . a . a ... a . a (avec n entier strictement supérieur à 1 )

a ⁿ est le produit de « n » facteurs égaux à « a »

n est appelé " l’exposant "

0⁰ n’existe pas

  (a différent de 0)

  (a différent de 0)

quel que soit n

REGLES DES SIGNES

La puissance d’un nombre positif est toujours positive.

La puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair.

La puissance d’un nombre négatif est négative si l’exposant est impair.

AVEC LA CALCULATRICE

Facteur constant : x x = =

Touches puissances :

x^y

^

↑

x^2

Pour tout nombre relatif a non nul :

(a est différent de 0)

Quels que soient les nombres relatifs a et b non nuls, quels que soient les exposants relatifs m et n :

Ecriture scientifique d’un nombre relatif :

± a x 10 ^p avec 1 < a < 10 et p nombre entier relatif.

9. COMPARAISON DES NOMBRES RELATIFS

Symboles :

> se lit : est strictement supérieur à

< se lit : est strictement inférieur à

Ô se lit : est inférieur ou égal à

Õ se lit : est supérieur ou égal à

On sait déjà comparer deux nombres relatifs positifs.

Tout nombre relatif positif est supérieur à tout nombre relatif négatif.

Si deux nombres sont négatifs alors le plus grand est celui qui a la plus petite valeur numérique.

Si deux points d’une droite graduée ont une abscisse négative alors le point le plus proche de l’origine a la plus grande abscisse.

Si deux nombres sont négatifs alors le plus petit est celui qui a la plus grande valeur numérique.

Si deux points d’une droite graduée ont une abscisse négative alors le point le plus éloigné de l’origine a la plus petite abscisse.

Propriété des inégalités

Si on ajoute un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

Si on multiplie les deux membres d’une inégalité par un même nombre positif non nul, on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

Si on multiplie les deux membres d’une inégalité par un même nombre négatif non nul, on obtient une nouvelle inégalité de sens contraire.