FONCTIONS LINEAIRES

  1. Définition d’une fonction linéaire.
    1. Proportionnalité et fonction linéaire

x

0

1

2,4

– 10

y

0

–1,5

–3,6

15

Lorsque deux suites sont proportionnelles, on obtient les nombres de la deuxième suite en multipliant les nombres de la première suite par un même nombre appelé " coefficient de proportionnalité".

On dit aussi :

les nombres 0; –1,5; – 3,6; 15 etc. sont les images respectives de 0; 1; 2; 4; –10 etc.

par la fonction linéaire de coefficient –1,5.

    1. Vocabulaire, notations

y = –1,5 x

L’image d’un nombre " x " par la fonction linéaire de coefficient " a " est le nombre  " y " égal au produit de a par x.

f(x) = –1,5 x

Lorsqu’on désigne une fonction linéaire par une lettre, par exemple f,

l’image du nombre x par la fonction linéaire f se note f (x).

On a : f (x) = a x        (on lit: "  f de x  égal à a x  ").

Tableau de valeurs :           

          

x

0

1

2,4

– 10

f(x)

0

–1,5

–3,6

15

3.      Toute situation de proportionnalité peut se traduire par une fonction linéaire

Toute fonction linéaire peut être considérée comme le modèle mathématique d’une situation de proportionnalité.

 

  1. Détermination d’une fonction linéaire

1.      Pour déterminer une fonction linéaire f, il suffit de connaître l’image y par f d’un nombre x non nul.

    1. Exemple:

soit f la fonction linéaire telle que f(5)= – 20.

Son coefficient a est solution de l’équation: a x 5 = – 20.

Soit: a = – 4.

Il y a une seule fonction linéaire telle que l’image de 5 est –20 . C’est : f(x)= – 4x

    1. Calcul du coefficient :

 

  1. Propriétés des fonctions linéaires
    1. Image des nombres zéro et un.

L’image de 0 est 0              f(0) = a x 0     donc f(0) = 0

L’image de 1 est 1              f(1) = a x 1     donc f(1) = a

    1. Image de la somme de deux nombres

Si f est une fonction linéaire, alors f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ).

L’image de la somme de deux nombres est égale à la somme des images de ces deux nombres

Exemple: si f (x) = – 2x        alors   f ( 3 + 4 )= – 2 x ( 3 + 4 )

                                                          alors   f ( 3 + 4 )= (– 2) x 3 + (–2) x 4

                                                          alors   f ( 3 + 4 )= f (3) + f (4)

x

3

4

7

y

–6

–8

–14

 

    1. Image du produit de deux nombres

Si f est une fonction linéaire, alors f ( m x ) = m f ( x ). .

L’image du produit d’un nombre par k est égale au produit de l’image du nombre par k

Exemple: si f ( x ) = – 2 x alors                  f( 3 x 4 ) = –2 x ( 3 x 4 ) = –24

                                                          3 x f(4) = 3 x ( –2 x 4 ) = –24

                                                          4 x f(3) = 4 x (–2 x 3) = –24

                                                          mais   f(3) x f(4) ¹ –24

x

3

4

12

y

–6

–8

–24